2021年11月27日
囚徒困境，而且是加强版。
2003 年的时候，在一个叫「音速论坛（sonicbbs）中推理天下版块，一位叫「加菲鼠」的网友提了一个问题：
五个囚犯先后从 100 颗绿豆中抓绿豆。抓得最多和最少的人将被处死，不能交流，可以摸出剩下绿豆的数量，谁的存活几率最大？
这道题还有几个需要知道的点：
1、他们都是很聪明的人；
2、他们的原则是先求保命，再去多杀人；
3、100 颗不必都分完，但要保证每人至少抓一颗；
4、若有重复的情况，则也算最大和最小，一并处死
通过解答这道题，希望能帮助大家通过数学得到一些关于人生的感悟。
这个问题的解答，取决于我们如何从数学的角度理解题干。
首先，我们来看题干，题目给出的条件是这样的：
1、他们都是很聪明的人；
2、他们的原则是先求保命，再去多杀人；
3、100 颗不必都分完，但要保证每人至少抓一颗；
4、若有重复的情况，则也算最大和最小，一并处死。
这里面最重要的就是第 2 条：他们都是很聪明的人，他们的原则是先求保命，再去多杀人；
对此我的理解是：
a) 因为每个人都不能指望别人犯错，因此抓豆的策略是：在剩下的人采取最佳方案的时候，自己的存活概最大；
b) 如果有多种方案使得自己的存活概率最大且相同，则采取杀死人最多的方案；
而在这个解读下，这个问题或许会走向一个可怕的结局。
下面，我尽量不用数学语言，而是用通俗的语言来分析这个问题。
首先要说明的是，题目要求每个人都至少抓一颗绿豆，所以第一个人抓完绿豆后，至少要留 4 颗绿豆给剩下的 4 个人；同理，第二个人要留至少 3 颗绿豆给后面的人；第三个人要留 2 颗；第 4 个人要留 1 颗。
我们先不管第 1 个人咋样，其实第 2 个人到第 5 个人的策略是显而易见的。
情况讨论：
下面我分两种情况讨论：
1. 如果第 1 个人取的绿豆数超过了 20 颗（也就是总和的 1/5）。
那么，对于第 2 个人来说，他的最佳策略是：
l 比第 1 个人取的绿豆数少至少 1 颗，且在这个范围内尽可能多取；
l 至少剩下 3 颗绿豆给后面 3 个人。
这是因为，第 1 个人已经取了超过均值数的绿豆数，后面一定有人取不到 20 颗。第 2 个人比均值少取 1 颗，就可以保证自己不是最多或者最少的，自己必然存活。而在自己存活的情况下，尽可能让后面的人少取绿豆，让后面的人「卷」起来，所以在规则允许的情况下，比第一个人少 1 颗是最好的。
当然，如果第 1 个人取了至少 50 颗绿豆，那第 2 个人的策略就是取到剩下 3 颗即可，这样就能让剩下的 3 个人都只能取 1 颗，除了第 2 个人自己，其他人都面临必死的结局啦。
对于第 3、4 个人来说，如果剩下的绿豆数少于 60 颗、40 颗，那么策略是类似的：
首先要保证自己比前面取得最多的人至少少一颗（因为他们看不到前面的人取的绿豆数，所以只能取比前面所有人的均值严格少的绿豆数）；其次是留尽可能少的绿豆给后面的人；而如果剩下的绿豆数多于 60 颗、40 颗，说明剩下的绿豆数足够，那他们就尽量取前面人取绿豆的均值，来让自己不是最多或最少的可能达到最多。（我们称之为「均值策略」）。
将上述的策略描述成数学语言，就是：
定义： m_{n} 为第 n 个人取走的绿豆数，而 M_{n} 为前 n 个人取走的总绿豆数
引理：当 1-3 人取过绿豆数时，如果如果被取走的绿豆数满足 20n，则第 n+1 人个人应该取 min(96-M_{n}+n,[(M_{n}-1)/n]) 颗绿豆
而对于第 5 个人来说，他可能别无选择了：如果剩下的绿豆数足够，那就尽可能取前面 4 个绿豆数的均值；如果不足够，就全取完，然后祈祷。
不知道你发现没，我们好像有意无意地忽略了第 1 个人的诉求——因为无论如何，他一定是取绿豆数最多的人，必死无疑了。
第 1 个人当然不愿意就这样坐以待毙，所以他选择方案 2 ：
2. 第 1 个人至多取 20 颗绿豆。
在这个情况下，第 2 个人将面临什么样的局势呢？
如果他取的绿豆数比第 1 个人多，并且和第 1 个人取的绿豆总和超过了 40 颗，那么按照上面分析的，若第 3、4 个人采取策略：「比前面所有人的均值严格少，且尽可能留最少的绿豆数给后面的人」，第 5 个人采取策略：「取前 4 个人的均值，如果不够则取完」，那么第 2 个人毫无疑问就成为了取绿豆数最多的人，必死无疑。
所以第 2 个人取的绿豆数必须要少于 40 减去第一个人取的绿豆数。
在这种情况下，第 3、4、5 个人都会采用「均值策略」来确保自己存活的概率最大。
用数学语言讲：就是当 n=2，3 时，若 M_{n}<20n,则第 n+1 个人应该取 [M_{n}/n+0.5] 颗绿豆。
这个时候，一个有趣的情况出现了：
l 如果第 2 个人取的绿豆数比第 1 个人多，那么他会因为自己取的绿豆数全场最多而死；
l 如果第 2 个人取的绿豆数比第 1 个人少，那么他会因为自己取的绿豆数全场最少而死；
l 如果第 2 个人取的绿豆数和第 1 个人相同，那么所有人取的绿豆数都相同，所有人都得死。
咦？第 2 个人横竖都得死？
对了，刚才我们似乎忽略了第 1 个人，好像他也是横竖都得死？
现在，让我们把镁光灯聚焦到第 1 个人头上。
他仔细思考了第 2～5 个人可能采取的策略，发现了「自己必死」的可怕现实。
那么对他来说，或许要面临一个抉择了：
如果自己的存活概率为 0，那么按照规则，自己是要尽可能多杀人还是多救人？
如果按照之前的假定，他应该多杀人，那他的选择其实很简单：取走 96 颗绿豆！那剩下的人只能各自取 1 颗绿豆，所有人都必死了。
但如果，他有了恻隐之心，反正自己必死，不如多救几个，按照之前讨论的情况 1，他可以选择取走 21～33 颗绿豆：
如果他取了 21 颗，后面的人分别取 20、20、20、19 颗，第 2～4 个人存活；如果取了 33 颗，后面的人分别取 32、32、2、1 颗，同样，第 2～4 个人存活。
如果少于 21 颗，按照之前的分析，第 2 个人肯定得死；如果多于 33 颗，第 4 个人只能取 1 颗，必然死。
所以，第 1 个取 21～33 颗是最好的选择——可以救下 3 个人。
如果是你，会怎么选择呢？是让大家同归于尽，还是尽可能救下别人？
作者：曾加
有没有比黑暗森林更黑暗的理论？ - 曾加的回答 - 知乎