例如理想状态下，流体应该是直线运动的，但在发散场和地球自转的作用下，就会像飞蛾一样走出类似等角螺线的形状，天上的台风和水中的漩涡就是这样形成的，不过实际情况远比这要复杂，只能近似这样考虑。
关于对数螺线还有一个小笑话。
对数螺线是笛卡儿在 1638 年发现的，雅各布·伯努利也做了研究，并发现了许多非常优美的特性，经过各种变换，结果还保持原来的样子。
他十分惊叹和欣赏这种美，要求死后自己的墓碑上一定要刻上对数螺线，以及墓志铭「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。
结果石匠同志误将阿基米德螺线刻了上去，雅各布九泉有知一定会把棺材掀翻的！
阿基米德螺线是这样的：
常人的确看不出区别，你能看出来吗？千万不要搞混啊！
好了！长篇大论快结束了，能坚持到这的都是 Winner！下面开始讲为什么叫自然底数了。
对数的底数
对数中最常用的底数是 10、2 和 e
为什么要以 10 为底数？
因为我们使用 10 进制，数量级和科学计数法也是 10 的倍数，例如阿伏伽德罗常数 6.02*1023。
所以 10x 的逆运算，以 10 为底的对数 lg x 最常用、最方便，所以又称常用对数。
10 进制是数字表示法中最容易普及的，根源是我们有 10 个手指，人们初学数字时都喜欢借助 10 个手指学习 1、2、3……10。到了学加减运算时，更是喜欢借助手指计算。不仅老师认为这样教学直观，学生也认为这样练习方便。通过教育，这个强大的习惯，被最广泛的传播和固化下来。但如果是 8 个腕足的章鱼发展出了文明，可能更喜欢 8 进制。
为什么要以 2 为底数？
因为 2 倍或成倍式的增长，即 2x，是我们日常中最简单的指数式增长。我们经常说数量成倍、翻倍、翻番、翻两番，都是 2 倍率的增长。
你可能也发现了，前面的存款例子实际上都是 2x ，因为这样的例子最容易理解。所以 2x 的逆运算，底数为 2 的对数 lb x 也会比较常见。
虽然对数的底数 2 和 10 是人们使用体验和认知体验最好的对数，但是在数学中，这两个数却是不自然的，因为都是在方便人的需要。
为什么 e 被称为自然底数？
用 e 做底数的对数表达方式是 ln x
按照古希腊哲学家的自然思想，自然是指万物的内在规律，就像自然数一样，是事物本身的属性，不以人的喜好而变化。
前面在讲「利息中的 e」时，曾拿π和 e 做过对比。
- 边数越多越接近圆，利滚利越多越接近最大收益
- 一个对角线为 1 的多边形，其周长最大值是π
- 一个本金为 1 利率为 1 的存款，其存款余额的最大值是 e
按照古希腊的自然思想来看：
- 对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个「无理」的数。
- 对于最快速的指数增长来说，e 才是自然的，这是指数增长本身的属性。
而科学家们也发现，在做数学分析时，用 e 做底数的对数 ln x 做计算，其形式是最简约的，用其他对数例如 lg x 做计算，都会画蛇添足的多一些麻烦。
ln x 就像美学上的「增之一分则太长，减之一分则太短」。
对数学家来说，最简就是最美。这是一种纯理性的美，通过感官是无法欣赏的，只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。这种美令无数数学家为之痴迷，虽然不会像毕达哥拉斯那样狂热，但也终其一生孜孜以求。
结论
- 历史上，「自然」是一种划时代的思维方法，自然还有和谐、完美的内涵
- 随着利息、对数、指数的发明，人们发现了 e 的存在
- 1 元存 1 年，在年利率 100% 下，无穷次的利滚利就会达到 e
- e 和π一样都是内在规律，反映了指数增长的自然属性
- 大自然中到处都有对数螺线 eθ的身影
- 其他底数都是发明出来方便人使用，只有 e 为底数是被发现的
- 数学家发现以 e 为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式
把 e 冠以自然底数、自然常数之名，把 e 为底数的对数称为自然对数，是数学家们用自己的方式对 e 所进行的美学评价。
2004 年 Google 公司 IPO 上市，创始人 Larry Page 和 Sergey Brin 决定上市融资总额为 2718281828 美元，也就是 e 的前 10 位数字。因为他们都精通数学，很喜欢 e 的自然之美，当然也希望公司能像 10100 一样实现指数型高速增长。
Google 其实是 Googol 的错误拼写，Googol 代表 10100 这样的天文数字，实现这样大的数看来也只能靠 ex 指数增长了。
#以下为补充介绍
对数为什么叫对数？
根据前面所说，纳皮尔将对数命名为 Logarithm，拉丁文中 logos 的意思是『比率』，他用一种几何的方式发现了比例对应关系。
1653 年，清代顺治年间，对数传入中国，薛凤祚与波兰传教士穆尼阁编写了《比例对数表》。康熙时的《数理精蕴》解释了『对数』中文名的来源：『对数比例乃西士若往纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表』。
为什么对数发明早于指数？
有趣的是，历史不走寻常路，对数的发明居然是早于指数！
这就相当于先发明减法符号，再发明加法符号。
1614 年，纳皮尔发明了对数和对数表。
1637 年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了 20 多年。
1770 年，欧拉才第一个指出：「对数源于指数」，这时对数和指数已经发明一百多年了。
我认为造成这个现象的原因有三个：
- 纳皮尔首先发现的是大数运算中有对应比例关系，这种关系可以用来简化计算，而不是考虑求指数逆运算的。
- 指数运算大家一直用，不过是用自乘的方法算。笛卡尔发明的是指数运算的符号和规则，简化了这种运算。对数和指数是不同目的下的发明，一开始人们就没有意识到两者之间的关系，直到一百多年后，欧拉才把这种互为逆运算的关系明确下来。
- 后人喜欢把容易的运算说成正运算，难的运算是逆运算，例如加法易，减法难，这是认知路径的先后造成的。
我们现代人是这样学习的：
先学指数，再学对数，指数是正运算，对数是逆运算。我们直接学习了结论，一开始就明确谁正谁逆。但其实两者互为逆运算，谁做正都行。
欧拉发现两者关系后，人们在教授数学时，为了认知体验更好，把简单的指数放到了前面，不容易理解的对数则放到了后面。
这就是后人才有的疑惑，就像亚里士多德认为利息的不自然，中国人奇怪「货币」有贝字一样，因为历史断层，我们也会惊讶于指数的发明居然会晚于对数。
□ 张英锋
备案号:YXA1zd8zpP5iYn0vBYZSM1Y5