为什么倒立的杯子，水能够倒出来。
这是一个看起来相当常识的问题，常识到显得很沙雕。但是里面的物理知识却非常有趣，它包含了我们初中学过的帕斯卡原理、高中学过的受力平衡和表面张力、以及大众不太熟悉的正反馈失稳现象。
当我们问「水为何能从杯子里倒出来」的时候，一个不假思索的反应就是「那当然啊，因为水受到重力作用啊」。
是的没错，水受到重力作用。但是水并不只受到重力作用，它还受到两个力：一个是大气压力 P，一个是杯底对它的压力 N。
当杯子里的水深小于 10 米（一般的杯子当然小于 10 米！），它在底部受到的大气压力大于水体自身受到的重力。也就是说，大气压力不但能够把水稳稳地托住，而且还会将水体向上挤压，使得水体对容器的器壁产生压力。
也就是说，水体在竖直方向上受到向上的大气压力，与向下的重力和器壁对它的压力达到平衡，因此我们就有这样的平衡：
PA=N+GPA=N+G
其中 A 就是液面的面积。我们把这个平衡在液面处整理一下，在液面两侧，液体侧受到的压强就是 N 和 G 之和，空气侧是大气压
P=\frac{N}{A}+\rho gH\equiv P^\primeP=\frac{N}{A}+\rho gH\equiv P^\prime
就是液面受到向下的液体压强 P'，以及向上的大气压 P：
P^\prime=PP^\prime=P
因此，按照受力平衡来说，水是不会流下来的（我们都对「大气压托住水」的覆杯实验耳熟能详）。
但是，这并不符合我们的经验，我们从来就看不到一杯水能够这样倒立在杯子里。这是为什么呢？
原因就是正反馈失稳。
简言之，在理论上，倒立杯子里的水不流下来，完全符合所有的物理定律，它必定是一种能够存在的现象，只不过它极其不稳定，所以只在理论上存在，现实中却无法维持。
我们考虑这个倒立的水面起了一个极小极小的涟漪，它不再是一个严格的平面：
由于涟漪的存在，在液体的表面，它的「水深」就不在同一个平面上了。
如上图所示，我们考虑一种简化的情况，在液面的凹陷处，其高度就升高了 h；而在液面的凸起处，其高度就下降了 h。
通过帕斯卡原理我们知道，在凹陷处和凸起处，由于高度差的存在，其内部的压强就会不同。而大气压则不可能同时和这两处达到平衡。所以我们就知道，在平静的水面上是存在着受力平衡的，但是在涟漪处就不行了。
我们考虑一个小小的凹液面处，来看看它的受力。
根据帕斯卡原理，在凹液面处，它所受到的液体一侧压强就变小了，变成了：
P^\prime-\rho ghP^\prime-\rho gh
也就是说，在这里液面受到的压力不再平衡了，来自大气的压力大于来自液体一侧的压力。
在这种不平衡的驱动下，大气压就会推动液面上升，而液面上升则会形成更大的凹液面。而更大的凹液面，则会进一步扩大这种不平衡，进而加快液面上升。
也就是说，一个初始的扰动，使得系统的响应会扩大这个扰动，这就叫正反馈。
这个过程简单表示成：
1、 一个微小的扰动导致暂时的受力不平衡；
2、 这种不平衡会驱动液面运动，而运动的方向则与初始扰动方向相同，从而使得初始扰动被扩大；
3、 被扩大的扰动导致受力的进一步不平衡；
4、 更大的不平衡导致扰动被进一步放大；
5、 从而产生更大的不平衡，导致扰动更加放大……
所以，这个凹液面将不复存在。
不论初始的扰动多么小，这个系统本身的反馈都会把它放大，这个放大的速度，可以通过动力学方程计算出来，是成指数速度放大的。这个指数，被称作「李雅普诺夫(Liapunov)指数」。正反馈过程中，这个指数为正数。
我们知道，指数放大的速度是极其恐怖的，它就会使得液面迅速上升至杯底。水体的平衡瞬间崩溃。
同理，对于凸液面，也有同样的正反馈过程：一个微小的初始扰动，就会导致液面迅速下降，导致水立刻就流下来。
所以说，倒立的平静液面理论上存在，但是它没有任何的抗扰动能力，所以现实中不可能存在。这就是倒立的水杯中水总是流下来的原因 - 即使是受力可以达到平衡。
当然，这也就解释了「纸片托住水」的实验为何能够成功：因为纸片的存在，保证了液面的平衡，进而就能让大气压力与液体压力的平衡可以稳定存在不被微扰打破。
同样的分析我们可以应用于正立的水面。这个过程我就不重复了，容易得出这是一个负反馈过程（Liapunov 指数为负数）。也就是说：
1、 一个微小的扰动导致暂时的受力不平衡；
2、 这种不平衡会驱动液面运动，而运动的方向则与初始扰动方向相反，从而使得初始扰动被压制；
3、 被压制的扰动导致受力的不平衡被缩小；
4、 被缩小的不平衡会进一步压缩扰动；
5、 直至液面完全恢复到最初的状态。
这就解释了为何正立的水面总是稳定的。
但是，我们的讨论还没完。我们可以进一步考虑这样的现象：
当水杯的开口越来越小的时候，我们就会发现向下倒水变得不再流畅了。一开始，只是水流不畅而已：它不能连续流下来，而是变成一股一股；但是当开口小到一定的程度，它就完全流不下来了。但是随着液面开口的变小，我们的正反馈机制似乎并没有打破，为何水面变得稳定了呢？
答案是：当液面变小时，正反馈变成了负反馈。
简言之，就是液体表面天然有收缩的倾向，这种倾向可以抵抗扰动。液面越小，这种抵抗能力越强。这个转变的关键就是表面张力。
表面张力，我们简单形象地理解，可以认为流体的两相（如气液）界面就像是一张紧绷的皮膜，这张膜在外力的约束下，总是希望尽可能地收缩。沿着它的表面就有一种张力，就是表面张力。如果你想用最形象的方式理解表面张力，你可以想象一个吹起来的气球的表面：气球的弹力使它尽量收缩从而整体形成球形。相对应地，水滴的表面张力使它尽量收缩从而形成球形。
那么我们就看到了，就像是绷紧的气球内部压力增大一样，由于表面张力的存在，弯曲的表面就会在液面的两侧形成压力差。在气球中，内部的压力肯定要大于外部压力。这种压力差，就是由气球的皮膜的张力形成的。那么，表面张力形成的压力差的大小是由什么决定的呢？
很显然，一个决定因素就是张力的大小：皮膜绷的越紧，所能产生的压力差就越大。
但是还有另一个很重要的因素，就是表面弯曲的程度，也就是它的曲率。我们还是用气球做一个说明，例如下面这个气球：
气球内部的气体压力处处相等，但是，接触过这种气球的人都有一个经验，就是粗的地方绷得紧，而细的地方绷得就不那么紧。如上图所示，绷得紧的地方和绷得松的地方，产生的压力差是相等的，但是他们的曲率是不相等的：曲率越大，同样的张力所能产生的压力差就更大。
我们有一个公式可以表示这个关系，叫做杨-拉普拉斯方程（Young-Laplace equation）：
\Delta p=\gamma\left( \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \right)\Delta p=\gamma\left( \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \right)
其中，γ是表面张力，R1 和 R2 分别是两个方向上的曲率半径。
那么我们再来看看液面的受力平衡。我们做一个假设，把初始扰动的凹液面近似为一个球面，球面的半径是 R：
此时，根据表面张力的杨拉普拉斯方程，我们知道，这个凹液面会产生一个向下的压力差，这个压力差的大小是：
\Delta p=\gamma\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{R} \right) =\frac{2\gamma}{R}\Delta p=\gamma\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{R} \right) =\frac{2\gamma}{R}
那么，液面受到的向下的压力就是：
P^\prime-\rho gh+\Delta PP^\prime-\rho gh+\Delta P
我们很容易看到，当这个涟漪非常之小的时候， \Delta P \Delta P 就会很大，就足以补偿掉扰动所引发的不平衡：凹液面将不再受到向上的净压力，而是受到向下的净压力。
也就是说，这时候正反馈就变成了负反馈。一个凹液面扰动的产生中，表面张力会把这个凹液面拉下来，阻止它继续扩大。
因而，当扰动足够小，液面的曲率半径足够小，表面张力就会占据主导，此时就是负反馈，液面将保持稳定。当扰动足够大，液面的曲率半径比较大时，表面张力产生的压力差就会很小，此时就是正反馈，液面将不能保持稳定。
这个「足够大」是多大呢？我们可以估算一下。
这个界限，将是表面张力恰好补偿扰动的时候：
\rho gR=\Delta P=\frac{2\gamma}{R}\rho gR=\Delta P=\frac{2\gamma}{R}
也就是：
R=\sqrt{\frac{2\gamma}{\rho g}}R=\sqrt{\frac{2\gamma}{\rho g}}
常温下水的表面张力大约为 0.073N/m。因而我们可以估算出这个界限大约是 3.8mm。
我们知道，液面扰动的大小，是受到液面本身大小的限制的。当液面本身的尺度都小于上述的尺度时，液面所能受到的最大扰动也不足以打破这个平衡：
也就是说，当液面的尺度小于半径 3 毫米左右的时候，水将不能流出来了。
这就是为何微小开口很难倒出水来的原因。
当然，这只是大致的估算而已，实际上，在表面张力的作用下，液面的扰动不太可能是一个完美的球形，而是由液体的表面张力波（Capillary Wave）、以及接触角所决定的，因而曲率也就必须由流体力学计算，这是一个非常复杂的计算过程，但是基本原理是一样的。
我们索性做一个实验来直观展示一下。实验很简单，一个矿泉水瓶子，一把小刀。首先，我们把矿泉水瓶盖用小刀镗不同尺寸的孔，如下图，两个瓶盖，浅色的孔用游标卡尺测量直径为 12.46mm，深色的 13.22mm。
实验开始了：
我们可以看到，用深色瓶盖时，水会不断流下，当然是一股一股的。
用浅色瓶盖时，水就流不下来。实验结果显示，水可以稳定呆住的临界直径大约是 12.46~13.22mm 之间。
这和前面计算的临界直径 7.6mm 是有出入的。为什么呢？
原因很简单，一个直径为 R 的孔中所能产生的液面扰动，其曲率半径肯定是小于 R/2 的。因为产生一个凹液面的同时，必然伴随着产生凸液面，并且凸出的部分与凹下去的部分体积应该相等。
我们再用一个简单模型估算一下。假设液面中间产生了一个凹液面，而相应的周边就会产生一个凸液面：
凹下去的体积与凸出来的体积相等。这里我们用一个极简的模型来代替实际过程，我们假设涟漪的截面是圆形的（实际上更应该接近正弦波）：
\frac{2}{3}\pi r^3=\pi^2\left( \frac{R-r}{2}+r \right)\left( \frac{R-r}{2} \right)^2\frac{2}{3}\pi r^3=\pi^2\left( \frac{R-r}{2}+r \right)\left( \frac{R-r}{2} \right)^2
我们把临界曲率半径 3.8mm 代入，很容易求得临界孔径为 11.97mm。这样一来，理论计算值就与实验值符合得很不错了。
我们还可以进一步展示这个现象 - 通过改变液面的表面张力。我们可以在水中加入一些洗涤剂。我们知道，洗涤剂是一种表面活性剂，可以降低表面张力。因而加入洗涤剂将会使得液面更不稳定。我们来看实验结果：
我们可以看到，原本稳定的液面加入洗涤剂后就流下来了。备案号:YXA1QvAaDoxuRjyMzdriQRg5